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Mathematisches Quiz für Informatiker
1. Aufgabe:Nahezu jeder Informatiker kennt die Zahl 23 und ihre Bedeutung. Aber dem Mathematiker offenbart sich noch mehr: Man berechne nur einfach mal für die Ziffern (d.h. n=2 bzw. n=3) den jeweils größten Primfaktor der Formel "(n+1)!-1"2. Aufgabe:Jeder Informatiker, der was auf sich hält, kann 1337 lesen und schreiben. Aber wer kennt die mathematischen Geheimnisse dieser Zahl? Man nehme zum Beispiel zwei beliebige verschiedene ihrer Ziffern und kombiniere daraus eine neue zweistellige Zahl. Dann fällt auf, dass alle diese Zahlen Primzahlen sind! Die einzige zweistellige Zahl aus den Ziffern der 1337, die keine Primzahl ist, ist die 33, die aber nicht aus verschiedenen Ziffern besteht. Aber nun nehme man mal alle Primzahlen, die kleiner als die 33 sind (also die ersten 11 Primzahlen) und falte diese Folge mit sich selbst. Was kommt raus? Falten bedeutet, man multipliziere die erste mit der letzten Primzahl, die zweite mit der vorletzten u.s.w und addiere die Produkte.3. Aufgabe:Wer kennt nicht die bekannte Fibonacci-Folge? Beginnend mit 1,1 ergibt sich jeder weitere Wert als Summe der beiden Vorgänger:1,1,2,3,5,8,13,... Die Fibonacci-Folge ist vor allem wegen der Eigenschaften von jeweils aufeinanderfolgenden Werten bekannt. So ergibt sich als Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen der goldene Schnitt. Nun kommt ein bischen binäre Logik: Wie lauten die ersten vier Werte der Folge, die sich ergibt, wenn man jeweils zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen binär mit OR verknüpft? 4. Aufgabe:Nochmal zur 23: Es fällt doch auf, dass sowohl die Ziffern 2,3, als auch die Quersumme 5 zu denjenigen Ziffern zählen, die nicht nur gerade Striche, sondern Bögen enthalten. Ok, man mag nun einwenden, dass dies auf alle Ziffern ausser 1,4 und 7 zutrifft... Aber interessanter wird es, wenn man sich mal die ersten 4 Primzahlen anschaut, die diese Eigenschaft haben. Wie lauten diese?5. Aufgabe:Nun kommt noch einmal ein bischen Binäre Logik. Beginnend mit a(0)=0 berechne man die nächsten vier Werte der Folge a(n)=a(n-1) OR n.6. Aufgabe:Man nehme die Liste aller Primzahlen und schreibe diese zur Basis 7 auf. Nun interpretiere man diese als Zahlen zur Basis 10 und streiche alle Zahlen, die nun keine Primzahlen mehr sind. Welches sin die ersten vier Zahlen der übrigen Liste?7. Aufgabe:Wieviele neue Zahlen kann man aus n Einheiten von Gelb, Blau und Rot mischen? Berechne die Werte für n=1,2,3,4.Kleine Hilfe: Formalisiert lautet das Problem: a(n) = Anzahl der Tripel (i, j, k) mit i+j+k = n und ggT(i, j, k) = 1. 8. Aufgabe:Wir haben nun schon ein paar Beispiele gesehen, wie die Zahl 23, ihre Ziffern 2,3 und ihre Quersumme 2+3=5 zusammenspielen. Nun betrachten wir ein wenig die Quadrate... Nimmt man nämlich die Quadrate der Ziffern noch dazu (2*2=4,3*3=9), so haben wir insgesamt die folgenden interessanten Ziffern: 2,3,4,5,9. Ok, damit haben wir nun die Hälfte aller Ziffern, was ist daran besonderes? Das Besondere ergibt sich, wenn man nun all die natürlichen Zahlen n betrachtet, bei denen sowohl n als auch n*n aus genau diesen Ziffern besteht. Wie lauten die ersten vier dieser Zahlen?9. Aufgabe:Nun zur letzten Aufgabe: Es geht um die Zahl korrekter Klammerausdrücke. Wenn man z.B. 3 Klammern in einem Wort der Länge 4 verteilt, gibt es 5 Möglichkeiten: ((ab)(cd)), (((ab)c)d), ((a(bc))d), (a((bc)d)), (a(b(cd))). Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen korrekt geklammerten Ausdruck mit 5 Klammerpaaren (bei einem Wort der Länge 6) zu bilden? .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Lösung: 5, 23 2. Lösung: 1337 3. Lösung: 1,3,3,7 4. Lösung: 2,3,5,23 5. Lösung: 1,3,3,7 6. Lösung: 2,3,5,23 7. Lösung: 1,3,3,7 8. Lösung: 2,3,5,23 9. Lösung: 42 | ||
